第2章 静电场(4)
§2.4 电像法
若求解电场的区域内有自由电荷,我们必须解泊松方程。一种更重要的特殊情况是区域内只有一个或几个电荷,区域边界是导体或介质面。现在介绍这类问题的一种特殊方法。
设点电荷Q附近有一良导体,在点电荷的电场作用下,导体面上出现感应电荷。我们希望求出导体外面空间中的电场,这电场包括点电荷Q所激发的电场和导体上感应电荷所激发的电场。我们设想,导体面上的感应电荷对空间中电场的影响能否用导体内部某个或某几个假想电荷来代替?注意我们在作这种代换时并没有改变空间中的电荷分布(在求解电场的区域,即导体外部空间中仍然是只有一个点电荷Q),因而并不影响泊松方程,问题的关键在于能否满足边界条件。如果用这代换确实能够满足边界条件,则我们所设想的假想电荷就可以用来代替导体面上的感应电荷分布,从而问题的解可以简单地表示出来。下面举一些例子说明这方法的应用。
例1 接地无限大平面导体板附近有一点电荷Q,求空间中的电场。
解 从物理上分析,在点电荷Q的作用下,导体板上出现感应电荷分布。若Q为正的,则感应电荷为负的。空间中的电场是有给定的点电荷Q以及导体面上的感应电荷共同激发的,而另一方面感应电荷分布有是在总电场作用下达到平衡的结果。平衡的条件就是导体的静电条件,即导体表面为一等势面。所以这问题的边界条件是
(导体面上),
或者说,电场线必须与导体平板垂直。
怎样才能满足这一边界条件呢?我们设想,感应电荷对空间电场的作用能否用一个假想电荷来代替?如图2-6,设想在导体板下方与电荷Q 对称的位置上放一个假想电荷Q',然后把导体板抽取。若Q' = −Q ,则假想电荷Q' 与给定电荷Q激发的总电场如图所示,由对称性容易看出,在原导体板平面上,电场线处处与它正交,因而边界条件得到满足。因此,导体板上的感应电荷确实可以用板下方一个假想电荷Q' 代替。Q' 称为Q的镜象电荷。
导体板上部空间的电场可以看作原电荷Q与镜象电荷 Q' = −Q 共同激发的电场。以r表示Q到场点P的距离,r ' 表示象电荷Q '到P的距离,P点的电势为
(2.4---1a)
选Q到导体板上的投影点O作为坐标原点,设Q到导体板的距离为a ,有
(2.4---1b)
例2 真空中有一半径为 R0 的接地导体球,矩球心为a(a>R0)处有一点电荷Q ,求空间各点的电势(图2-7)。
解 假设可以用球内一个假想电荷Q ' 来代替球面上感应电荷对空间电场的作用。由对称性,Q ' 应在OQ的连线上。关键是能否选择Q ' 的大小和位置使得球面上φ = 0 的条件得到满足?
考虑球面上任一点P(图2-7(a))。边界条件要求
式中r为Q到P的距离,r ' 为Q '到P的距离。因此对球面上任一点,应有
(2.4---2)
由图2-7(a)看出,只要选Q ' 的位置使 △OQ' P ~ △OPQ ,则
常数 (2.4---3)
设Q ' 距球心为b,两三角形相似的条件为 b /R0 = R0 /a,或
(2.4---4)
由(2.4---2)和(2.4---3)式求出
(2.4---5)
(2.4---4)和(2.4---5)式确定假想电荷Q ' 的位置和大小。
由Q和镜象电荷Q ' 激发的总电场能够满足在导体面上φ= 0 的边界条件。因此是空间中电场的正确解答。球外任一点P(图2-7(b))的电势为
(2.4---6)
式中r为由Q到P点的距离,r ' 为由Q '到P点的距离,R为由球心O到P点的距离,θ 为OP与OQ的夹角。
简单讨论一下结果。由高斯定理,收敛于球面上的电通量为 −Q ' ,因此,Q '等于球面上的总感应电荷,它是由于受电荷Q的电场吸引而从接地处传至导体球上的。由(2.4---5)式,|Q ' | < Q,由Q发出的电场线只有一部分收敛于球面上,剩下的部分伸展至无穷远,电场如图2-8所示。
例3 如上例,但导体球不接地而带电荷 Q0 ,求球外电势,并求电荷Q所受的力。
解 这里给处的条件是导体上的总电荷。这条件包括
(1)球面为等势面(电势待定);
(2)从球面发出的总电通量为 Q 0 。
由上例可知,若在球外有电荷Q而在球内放置假想电荷Q' ,其位置和大小如前,则球面上电荷为零。若在球心再放一个假想电荷Q 0 −Q' ,则导体球所带总电荷为Q 0 ,同时球面仍为等势面,其电势为(Q 0−Q' )/ 4π ε0 R0 。因此,条件(1)和(2)都被满足。在图(2-7(b))中,球外任一点P的电势为
(2.4---7)
因为空间中的电场相当于点电荷Q、镜象电荷Q' 和球心处的电荷Q0 −Q ' 所激发的电场,因此电荷Q所受的力等于Q' 和球心处的电荷Q0−Q ' 对它的作用力F,
式中第二项是吸引力,而且当 a → R0 时这项的数值大于第一项。由此可见,即使Q与Q 0 同号,只要Q距球面足够近,它就可能受到导体的吸引力。这是由于感应所用,虽然整个导体的总电荷时正的,但在靠近Q的球面部分可能出现负电荷。
由上结合本节的例子看出边值关系和边界条件对于解电场问题的重要性。概括起来,大致有以下几种类型的边界条件:
(1)两绝缘介质界面上,边值关系为
(2.4---8)
(2.4---9)
应用这条件可以把界面两边的电势衔接起来。
(2)给出导体上的电势,导体面上的边界条件为
(给定常数) (2.4---10)
(3)给出导体所带总电荷Q,再导体面上的边界条件为
(待定) (2.4---11)
(24---12)
应用上述边界条件可以唯一地解出静电场。用导体面上的另一边解条件
(2.4---13)
可以得出导体面上的自由电荷面密度。
课下作业:第72页,第9,10,11,12,13题。
9. 接地的空心导体球的内外半径为R1和R2,在球内离球心为a ( a<R1 ) 处放置一点电荷Q。用镜像法求电势分布。导体球上的感应电荷有多少?分布在内表面还是外表面?
10. 空心导体球的内外半径为R1和R2,在球内离球心为a ( a<R1 ) 处放置一点电荷Q。用镜像法求电势分布。导体球壳不接地,而是带总电荷Q0,或使其有确定电势,试求这两种情况的电势。又问与Q0是何种关系时,两情况的解是相等的?
11. 在接地的导体平面上有一半径为a的半球凸部(如图),半球的球心在导体平面上,点电荷Q位于系统的对称轴上,并与平面相距为b(b>a),试用电像法求空间电势.
12. 有一点电荷Q位于两个互相垂直的接地导体平面所围成的直角空间内,它到两个平面的距离为a和b,求空间电势。
13. 设有两平面围成的直角形无穷容器,其内充满电导率为的液体,取该两平面为面和面,在和两点分别置正负电极并通以电流,求导电液体中的电势。
补充题:
为什么能用镜像法处理静电势问题,给出使用镜像法的原则。
上一讲习题解答:
第11讲 课下作业:第71-73页,第6,7,8,18题。 6. 在均匀外电场中置入一带均匀自由电荷的绝缘介质球(介电常数)求空间各点的电势。(取介质球球心处的电势为零。) 解:取球坐标如图: 球外: 球内: 由(2)得: 由 取介质球球心处的电势为零 得: 由(1)得: 由(3)得: ∴ ∴ 7. 在一很大的电解槽中充满电导率为的液体,使其中流着均匀的电流,今在液体中置入一个电导率为的小球,求稳恒时电流分布和面电荷分布:讨论及两种情况的电流分布的特点。 解:∵ ∴ 稳恒时 ∴取球坐标如图 由(1)得: 由(2)得: 由(3)得: 解得: ∴ 8. 半径为的导体球外充满均匀绝缘介质,导体球接地,离球心为处 ()置一点电荷,试用分离变量法求空间各点的电势,证明所得的结果与电象法结果相同。 解:与无关,取球坐标系如图 设: 而 有: ∴ 由条件(3): ∴ 故: 由电象法: ∴ ( ) ∴ 故:两种方法结果相同。 18. 一半球为的球面,在球坐标的半球面上的电势为,在 的半球面上为,求空间各点电势。 解:∵∴ 球外: 球内: 解球外: n为偶数时,为偶函数 n为奇数时,为奇函数 故: ∴ 同理: 补充题: 1. 半径为R0电容率为的介质球置于均匀外电场E0中(真空),求空间电势和电场分布。取介质球球心处的电势为零。 2. 半径为R0的导体球置于均匀外电场E0中(真空),求电势和导体上的电荷面密度。 3. 在均匀外电场E0中置人—带均匀自由电荷的绝缘介质球(电容率),求空间各点的电势和电场分布。取介质球球心处的电势为零。