第19讲  电磁波在介质界面上的反射和折射

第四章  电磁波的传播(2)

§4.2 电磁波在介质界面上的反射和折射

电磁波入射于介质界面时,发生反射和折射现象。关于反射和折射的规律包括两个方面:(1)入射角、反射角和折射角的关系;(2)入射波、反射波和折射波的振幅比和相对相位。

任何波动在两个不同界面上的反射和折射现象属于边值问题,它是有波动的基本物理量在边界上的行为确定的,对电磁波来说,是有E和B的边界关系确定的。因此,研究电磁波反射折射问题的基础是电磁场在两个不同介质界面上的边值关系。下面我们应用电磁场边值关系来分析反射和折射的规律。

1. 反射和折射定律  第四章给出一般情况下电磁场的边值关系
                                 
(4.2---1)
式中σ和α是面自由电荷、电流密度。这组边值关系是麦克斯韦方程组的积分形式应用到边界上的推论。在绝缘介质界面上,σ = 0 ,α = 0。上节我们证明了在一定频率情形下,麦氏方程组(5.1---2)不是完全独立的,由第一、二式可导出其他两式。与此相应,边值关系(4.2---1)式也不是完全独立的,由第一、二式可以导出其他两式。因此,在讨论时谐电磁波时,介质界面上的边值关系只需考虑以下两式
                                  
(4.2---2)
虽然介质中B是基本物理量,但由于H直接和自由电流相关,而且边界条件也由H表出,所以在研究电磁波传播问题时,往往用H标示磁场较为方便。

设介质1和介质2的分界面为无穷大平面,且平面电磁波从介质1入射于界面上,在该处产生反射波和折射波。设反射波和折射波也是平面波(有下面所得结果可知这假定是正确的)。设入射波、反射波和折射波的电场强度分别为 E、E ' 和 E",波矢量分别为 k、k ' 和 k"。它们的平面波表示分别为
                                    
(4.2---3)

现在先求波矢量方向之间的关系。应用边界条件(4.2---2)式时,注意介质1中的总场强为入射波与反射波场强的叠加,而介质2中只有折射波,因此有边界条件
                         
把(4.2---3)式代入得
                   
此式必须对整个界面成立。选界面为平面z = 0,则上式应对z = 0和任意x ,y成立。因此三个指数因子必须在此平面上完全相等,
                            
由于 x 和 y 是任意的,它们的系数应各自相等,
                                  
(4.2---4)

如图4-3,取入射波矢在 xz  平面上,有 ky = 0,由上式 ky' 和 ky" 亦为零。因此,反射波矢和折射波矢都在同一平面上。

以θ,θ '和θ "分别代表入射角,反射角和折射角,有
              ,            
(4.2---5)
设 υ1 和 υ2 为电磁波在两介质中的相速度,由(5.1---21)式有
                                          
(4.2---6)
把(4.2---5)和(4.2---6)式代入(4.2---4)式得
                                           
(4.2---7)
这就是我们熟知的反射定律和折射定律。对电磁波来说,υ = 1 / (με)1/2 因此
                                         
(4.2---8)
n21
为介质2相对与介质1的折射率。由于除铁磁性介质外,一般介质都有 μ = μ0,因此通常可以认为(ε1/ε2)1/2  就是两介质的相对折射率。频率不同时,折射率亦不同,这就是色散现象在折射问题中的表现。

2. 振幅关系  菲涅耳(Fresnel)公式  现在应用边值关系(4.2---2)式求入射、反射和折射的振幅关系。由于对每一波矢k由两个独立的偏振波,所以需要分别讨论E垂直于入射面和E平行于入射面两种情形。

(1)E垂直入射面[图4-4(a)]。边值关系(4.2---2)式为
                                                
(4.2---9)
                                
(4.2---10)
由(5.1---28)式,H = (ε / μ)1/2 E,取μ = μ0,(4.2---10)式可以写为
                               
(4.2---11)
由(4.2---9)和(4.2---11)式,并利用折射定律(4.2---8)式得
                    
(4.2---12)

(2)E平行入射面[图4-4(b)]。边值关系(4.2---2)式为
                                 
(4.2---13)
                                             
(4.2---14)
(4.2---14)式可用电场表示为
                       
上式与(4.2---13)式联立,并利用折射定律(4.2---8)式得
                                  
(4.2---15)
(4.2---12)和(4.2---15)式称为菲涅耳公式,表示反射波、折射波与入射波场强的比值。由这些公式看出,垂直入射面偏振的波与平行入射面偏振的波的反射和折射行为不同。如果入射波为自然光(即两种偏振光的等量混合),经过反射或折射后,由于两个偏振分量的反射和折射波强度不同,因而反射波和折射波都变为部分偏振光。在θ +θ" = 90°的特殊情况下,由(4.2---15)式,E平行于入射面的分量没有反射波,因而反射光变为垂直入射面偏振的完全偏振光,这时光学中的布儒斯特(Brewster)定律,这情形下的入射角为布儒斯特角。

菲涅耳公式同时也给出入射波、反射波和折射波的相位关系。在E垂直入射的情形,由(4.2---12)式,因为当ε2 > ε1时θ > θ",因此E '/E为负数,即反射波电场于入射波电场反相,这现象称为反射过程中的半波损失。

上面的推导结果与光学实验式是完全符合,进一步验证了光的电磁理论的正确性。

3. 全反射  若ε1 > ε2,则 n21 < 1 。当电磁波从介质1入射时,折射角θ"大于入射角θ。当sinθ = n21 = (ε2/ε1)1/2时,θ"变为90°,这时折射波沿界面掠过。若入射角再增大,使sinθ > n21,这时不能定义实数的折射角,因而将出现不同于一般反射折射的物理现象。现在我们研究这情况下的电磁波解。

假设在sinθ > n21情形下两介质中的电场形式上仍然用(4.2---3)式表示,边值关系(4.2---4)式形式上仍然成立,即仍有
                                           
(4.2---16)
在 sinθ > n21 情形下有kx" > k",因而
                  
变为虚数。令
                                
(4.2---17)
则折射波电场表示式变为
                                        
(4.2---18)
(4.2---18)式仍然是亥姆霍兹方程的解,因此代表在介质2中传播的一种可能波模。在上一节中我们不考虑这种波,是因为当z→−∞时E"→∞,因而(4.2---18)式所表示的波不能在全空间中存在。但是这里所研究的折射波质存在于z > 0的半空间中,因此(4.2---18)式是一种可能的解。

(4.2---18)式是沿x轴方向传播的电磁波,它的场强沿z轴方向指数衰减。因此,这种电磁波只存在于界面附近一薄层内,该层厚度 ~κ−1。由(4.2---17)式,
                         
(4.2---19)
λ1
为介质1中的波长。一般来说,透入第二介质中的薄层厚度与波长同数量级。

折射波场强度由(5.1---27)是求出。考虑 E" 垂直入射平面情况(E" = Ey"),
                   
                         
(4.2---20)
Hz"
与E"同相,但Hz"与E"有90°相位差。

折射波平均能流密度由(1.34)式算出
                     
(4.2---21)
               
由此,折射波平均能流密度只有x分量,沿z轴方向透入第二介质的平均能流密度为零。

本节推出的有关反射和折射的公式在 sinθ > n21 情形下形式上仍然成立。只要作对应
                                  
(4.2---22)
则由(4.2---12)和(4.2---15)式可以求出反射波和折射波的振幅和相位。例如在E垂直入射面情形,由(4.2---12)式得
                              
(4.2---23)
                       
此式表示反射波与入射波具有相同振幅,担有一定的相位差。反射波平均能流密度数值上和入射波平均能流密度相等,因此电磁能量全部反射出去。这现象称为全反射。

由(4.2---23)式,E '和E振幅相等,但相位不同,因此反射波与入射波的瞬时能流是不同的。(4.2---21)式所表示的也只是 Sz" 的平均值为零,其瞬时值不为零。由此可见,在全反射过程中第二介质是起作用的,在半周期内,电磁能量透入第二介质,在界面附近薄层内储存起来,在另一半周期内,该能量释放出来变为反射波能量。

课下作业:第150页,第2题。

2、一平面电磁波以θ=45°从真空入射到εr=2 的介质,电场强度垂直于入射面,求反射系数和折射系数。

补充题:

介质1为真空,介质2的介电常数,磁导率,平面电磁波以60O角由介质1入射到介质2,求折射角及反射角,反射光的半波损失情况及偏振情况,是否能发生全反射。平面电磁波以60O角由介质2入射到介质1时情况如何?

上一讲习题解答:第150页,第1,5题。

1. 考虑两列振幅相同、偏振方向相同、频率分别为ω+dω和ω-dω的线偏振平面波,它们都沿z 轴方向传播。

(1) 求合成波,证明波的振幅不是常数,而是一个波;

(2) 求合成波的相位传播速度和振幅传播速度。

解:由题意得

                

可以看出,合成波的振幅不是常数,而是波:

位相传播速度:  

振幅传播速度:

5. 有两个频率和振幅都相等的单色平面波沿z轴方向传播。一个波沿x方向偏振,另一个沿y方向偏振,但相位比前者超前π/2,求合成波的偏振。

反之一个圆偏振可以分解为怎样的两个线偏振?

解:由题意得

                   

两式消去ωt kzz得:

向量的末端轨迹是一个圆,故称为圆偏振波。

反之一个圆偏振可以分解为两个同题中所述的线偏振波。

补充题:

1. 证明对时谐电磁波,麦可斯韦方程组不独立。

2. 证明真空中的平面电磁波为TEM波。

3. 证明在理想导体表面,电力线与界面正交,磁感应线与界面相切。

4. 根据麦可斯韦方程组推导时谐电磁波的电场量E的亥姆霍兹方程及E与B之间的关系。

5. 根据麦可斯韦方程组推导时谐电磁波的磁场量B的亥姆霍兹方程及E与B之间的关系。